MATEMATİK ÖZEL DERS - Eşdeğerlik ve karşıtlık

A(x) yüklemsel bir formül olsun. Şu ifadeleri gözönüne alalım:

a) $forall x A(x)$
b) $exists x A(x)$
c) $forall x (neg A(x))$
d) $exists x (neg A(x))$

Bunları doğal dile çevirirsek:

a) Her şey A yüklemine (özelliğine) sahiptir.
b) Bazı şeyler A yüklemine (özelliğine) sahiptir.
c) Hiçbir şey A yüklemine (özelliğine) sahip değildir.
d) Bazı şeyler A yüklemine (özelliğine) sahip değildir.

Burada görüldüğü gibi, d, a'nın karşıtı (değillemesi), c de b'nin karşıtıdır. Şu halde, $exists x A(x)$ yerine $neg forall x neg A(x)$ kullanabiliriz, çünkü bunlar mantıksal olarak özdeştir, aynı şekilde $forall x A(x)$ yerine $neg exists x neg A(x)$ ifadesini kullanabiliriz.

Yüklemsel ifadelerde değilleme ve niceleyicilerin yeri, anlam bakımından önemlidir. Örneğin:

$neg forall x asal(x)$ , “her sayı asal değildir” anlamına gelirken,
$forall x neg asal(x)$ ise “hiçbir sayı asal değildir” anlamına gelir.

Eşdeğerlikler

$forall x P(x) = neg [exists x neg P(x)]$
$exists x P(x) = neg [forall x neg P(x)]$
$neg exists x P(x) = forall x neg P(x)$
$neg forall x P(x) = exists x neg P(x)$

Karşıtlıklar

$forall x P(x) times exists x neg P(x)$
$exists x P(x) times forall x neg P(x)$
$neg exists x P(x) times exists x P(x)$
$neg forall x P(x) times forall x P(x)$
YENİ ADRESİMİZ

www.matematikegitmeni.com